La sequenza di FIBONACCI

“ De Divina proportionenell’ Econometria e Statistica

La SEZIONE  AUREA nell’Economia

The  GOLDEN  RATIO in Matematica e Informatica

AUREA  SECTIO in Geometria e Architettura

 

 

                                                   A cura di  Gianni Di Muzio

 

 

Premessa e biografia di Fibonacci

 

Da sempre l’uomo cerca di comprendere le leggi  e i principi che governano i fenomeni  naturali e le simmetrie che la stessa Natura mostra……..(…….per fare solo un esempio,basterebbe   vedere  al microscopio le immagini simmetriche che i cristalli di ghiaccio formano  in tante combinazioni  ).

E’ impossibile sottrarsi alle Leggi naturali o voler modificare i principi regolatori della Natura :  e’ risaputo che la Natura stessa  preferisce tendenze verso le  uniformità e  giammai una legge naturale farebbe ricorso a  crescite esponenziali  dei suoi fenomeni…….

Anche  l’ Economia ha le sue leggi ……..che tendono alle uniformità,piuttosto che a crescite esponenziali……

L’ascesa dei prezzi delle merci in periodi inflazionistici……..trova il suo punto massimo ,ma non può andare  oltre…..

Le quotazioni delle azioni,che in certi momenti possono raggiungere valori alti……..poi tornano a scendere……..se non addirittura crollare a prezzi più bassi di prima…..

Lo stesso vale, nelle fasce temporali considerate,per i tassi, per le rendite ,per i salari,per i cambi delle monete,per le rate dei mutui,per il costo dei terreni ,per  il valore degli immobili…….

Nell’ascesa dei prezzi,escluso qualsiasi impennata esponenziale,si configura,nel lungo periodo,lo stesso trend di crescita dell’economia,che “deve” crescere,a dimostrazione del benessere che si raggiunge……

L’uniformità,in Natura come in Economia,va intesa come armonia dell’Universo,nelle sue Leggi ,che a volte emerge da  una ricerca scientifica attendibile o dalla  spiegazione matematica e provata dei fenomeni………

Chi ha studiato con modelli econometrici questi  fatti economici (l’andamento dei prezzi delle merci,le oscillazioni delle quotazioni di Borsa,ecc.) ,così come gli scienziati che hanno  cercato di interpretare le leggi,  le simmetrie e le corrispondenze geometriche presenti in  Natura,non hanno  potuto fare a meno di constatare l’incredibile uniformità dei risultati ottenuti con la successione numerica di  Leonardo Fibonacci (matematico nato a Pisa intorno al 1170,che descrisse “la serie”nel “Liber Abaci”- 1202),e le cui “proprietà”matematiche hanno attribuito a questa prodigiosa “serie numerica”la definizione di “rapporto aureo”,”proporzione divina”,“numero aureo”o ”sezione aurea”(in latino  “Aurea sectio” e in inglese  “Golden Ratio”,”Golden Number”…..).

Oggi che si va sviluppando  l’utilizzo dei metodi matematici ed econometrici nella Finanza e nelle scienze sociali,dalla demografia all’economia,dalle analisi finanziarie alla risoluzione dei conflitti sociali, sempre più si fa riferimento alla “serie di Fibonacci”…….

E pensare che…….il “Liber Abaci”,manoscritto nel 1202 e divulgato ben 5 lustri più tardi come libro,e che tanto successo aveva avuto fin dalla sua comparsa (……parliamo del Medioevo),con la rivoluzione della stampa,ad opera del Gutemberg,non risulta tra le prime opere stampate alla fine del ‘500………mentre miglior sorte in stampa ebbe la “Summa de Aritmetica,Geometria,proportioni et proportionalità”di Luca Pacioli,che pure tratta della serie di Fibonacci…….

Stupefacente…….ma già le scuole d’Abaco medievali utilizzavano dopo il 1228 la “divina proportione”di Fibonacci per addottrinare il “mercante”…….dai cambi delle monete ai diversi tipi di pagamento,dal valore delle merci da permutare in cambio di altre merci alla ripartizione dei guadagni mercantili derivanti dai commerci marittimi ,fino alla ripartizione degli utili ottenuti dalle associazioni di persone in affari.

Considerato  che Fibonacci è universalmente considerato dagli esperti il precursore della matematica in Occidente,il lettore che non conosce la “divina proportione”starà pensando di fare due domande : cosa sarà mai questa serie numerica “magica”……..e quale sarà mai stata l’occasione principale che ha potuto permettere  l’idea nel 1202…….visto che allora si usavano ancora i numeri romani,che mal si prestavano ai calcoli……..

Ma diciamo subito che la numerazione Araba in Italia è stata introdotta da Fibonacci……..tanto per chiarire qual’ è stata  a quel tempo l’occasione (una numerazione divulgata dagli Arabi,ma di origine antichissima dell’INDIA ).

Il padre di  Fibonacci era funzionario della  Repubblica di Pisa ,doganiere dal 1192 presso una colonia in Algeria,dove ospitò anche il giovane figlio ventenne  Leonardo……..

E’ in Algeria che Leonardo Fibonacci completò la sua istruzione nella lingua e numerazione araba,approfondendo le sue conoscenze anche nelle tecniche di calcolo con le cifre indo-arabiche……..

Sarà il “Liber Abaci”a diffondere ,dopo il 1228 ,le conoscenze aritmetiche e la numerazione araba in tutta l’Europa Occidentale………eliminando completamente la numerazione latina e contribuendo non poco allo sviluppo dei traffici mercantili e del commercio extraeuropeo.

Si può attribuire a Fibonacci anche l’introduzione nella numerazione araba di un nuovo simbolo : lo zero………

Infatti,nel sistema di numerazione araba il valore delle cifre dipende dal posto che occupano: “ 0 “ verrebbe immesso nelle posizioni vacanti e per indicare le decine,le centinaia,le migliaia,ecc………permettendo così tutti i calcoli.

 

La serie di Fibonacci

 

Le successioni numeriche in cui ogni termine è definito come una certa funzione dei  termini precedenti,si definiscono “successioni ricorrenti”.

 La serie numerica di Fibonacci si può definire una successione ricorrente,in cui ogni termine è la somma dei due termini precedenti (per ogni “n” maggiore di 2).

Sia          x1, x2 ,x3,………xn                una successione numerica.

Un numero  “n” della successione ricorrente di Fibonacci è :

xn =  xn-1  +  xn-2                 ( per ogni  “n” maggiore di 2 )

Poiché per determinare un termine è necessario conoscerne i due precedenti, x1   e    x2   =  1

I termini calcolati in questa successione numerica sono chiamati “numeri di Fibonacci” (Fibonacci Series) e godono di notevoli proprietà e applicazioni……..

Passando ai calcoli,con i numeri arabi:

 

Primo termine       =     1

Secondo termine    =     1

Terzo termine        =     2  (1 + 1 )

Quarto termine      =     3  (2  + 1)

Quinto termine      =      5  ( 3 + 2)

Sesto termine         =      8  (  5 + 3)

Settimo termine     =     13 ( 8 + 5)

Ottavo termine       =     21 ( 13+ 8)

Nono termine          =     34  ( 21+13)

Decimo termine       =     55  ( 34 +21)

………………..         =  …………….

 

La ricorsione,nella  sequenza dei primi 10 termini:

 

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……………..

 

 

LA  SEZIONE  AUREA

e il  RETTANGOLO AUREO

 

La sezione aurea si può rappresentare graficamente da un segmento diviso in due parti DC e CG,tali che il rapporto DC+CG e la parte più lunga DC sia uguale al rapporto tra DC e CG.

Come dire che  DC è la sezione aurea di DG.

 

Per  DC   e   DA = x   , e  CG =  1 , sarà  DG =  x+1

Per la proporzione esistente nella sezione aurea sarà:

1 :  x  =  x  :   ( x + 1 )

Poiché il prodotto dei termini medi è uguale al prodotto degli estremi,sarà:

x  .  x  =  x + 1

 

Essendo il rettangolo costruito sul quadrato iniziale,si può dire anche che il “rapporto aureo” (Golden Ratio in inglese e un modo per indicarlo in formula è “ Phi ” )è uguale al rapporto tra il lato maggiore e il lato minore di questo rettangolo:

Phi = DG/DA ;   (x+1) / x

 

La costruzione di un rettangolo simile è dovuta al matematico  Leon Battista Alberti (1404-1472),che parte da un quadrato ABCD e  con il compasso di apertura EC (dove E segna il punto medio di AB ) traccia il punto F,che disegna il lato maggiore del “rettangolo aureo”.

 

Il matematico Luca Pacioli  (1445 ca.-1509) chiamò tale rapporto tra il lato maggiore e il lato minore di un rettangolo così costruito “De Divina Proportione”……….

 

Orbene,un  rettangolo costruito con  due numeri contigui della successione di Fibonacci ,nel rapporto tra lato maggiore e lato minore,danno sempre un risultato che tende al Phi=1,618….

Le frazioni  2/1; 3/2 ; 5/3 ; 8/5 ; 13/8 ; 21/13 ; 34/21 ;…………………ecc. tendono al risultato  1,618……sempre più preciso con rapporti più elevati nella successione…….

Poiché la sezione aurea è il segmento medio proporzionale tra la lunghezza di tutto il segmento e la parte rimanente,vale anche l’inverso nelle stesse frazioni ………..

Le frazioni  1/2; 2/3; 3/5 ; 5/8 ; 8/13; 13/21; 21/34 ;………………………ecc.che tende a 0,618……sempre più preciso con rapporti più elevati nella successione di Fibonacci.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sviluppo con Excel  della “Fibonacci Series

 

 

 

 

SOMMA DEI NUMERI DI FIBONACCI

 

Due numeri successivi di Fibonacci possono rappresentare i lati di rettangoli all’infinito……..

i cui quadrati costruiti sulle diagonali (….vedi teorema di Pitagora) sono ancora numeri della “Fibonacci series”……..

Il noto teorema di Pitagora (…….Pitagora di Samo,570-500 A.C.) recita:

“in ogni triangolo rettangolo la somma delle superfici dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente alla superficie

del quadrato costruito sull’ipotenusa”.

 

 

 

 

 

 

SVILUPPO CON EXCEL della “Fibonacci Series”applicata al teorema di Pitagora

 

 

Il Pentagono regolare

 

 

Sulla retta  “r”  si  segna il segmento BC,il  suo punto medio  G  e  il quadrato ABCD .

Con il compasso su G e apertura GD ,si traccia un semicerchio che interseca la retta r

in E .

 

 

 

 

Con il compasso di apertura BE si tracciano due semicerchi,puntando il compasso su B e su C e intersezione in  F.

Con apertura BC del compasso ,puntando in F,si traccia la porzione di circonferenza che  interseca i precedenti due semicerchi in A e D.

I punti  ABCDF sono i vertici di un pentagono regolare.

Con il pentagono regolare così costruito vale la relazione che BC è un “rapporto aureo” di

BC su BE ;  BC è parte aurea del segmento BE.

Le diagonali del pentagono AC,BD,CF,AD  sono uguali tra loro ed hanno come parte aurea  il lato BC.

 

 

Premesso  che BC è parte aurea del segmento BE

BE=BG+GE     ;    CE=BE-BC

 

posto BG = x     e   CE = 1    ;

BE = 2x+1

 

Per la proporzione  esistente nella sezione aurea  sarà:

 

(x + x. V5 ) :  2x  =  2x  :  ( x .V5 – x)

 

 

Sviluppo con Excel della sequenza di Fibonacci del lato e dell’apotema del pentagono regolare

                                    Con raggio “n” del cerchio iscritto al pentagono uguale alla “Fibonacci series

 

Il rapporto lato/ apotema tende al  numero irrazionale    0, 726542528

Il rapporto apotema/ lato tende al numero irrazionale     1, 37638192

 

 

numerazione

Fibonacci series

lato del pentagono regolare

apotema del pentagono regolare

Rapporto  C/D pentagono

Rapporto D/C pentagono

1

1

con raggio "n"   Fibonacci

con raggio "n" di Fibonacci

Rapporto lato/apotema

Rapporto apotema/lato

1

2

2,351141009

2,618033989

0,898055953

1,113516364

2

3

3,526711514

5,236067977

0,673541965

1,484688486

3

5

5,877852523

7,854101966

0,748379961

1,336219637

4

8

9,404564037

13,09016994

0,718444763

1,391895456

5

13

15,28241656

20,94427191

0,729670462

1,370481679

6

21

24,6869806

34,03444185

0,725352885

1,378639308

7

34

39,96939716

54,97871376

0,726997676

1,375520215

8

55

64,65637775

89,01315562

0,726368786

1,376711141

9

89

104,6257749

143,9918694

0,726608908

1,376256181

10

144

169,2821527

233,005025

0,726517176

1,37642995

11

233

273,9079276

376,9968944

0,726552212

1,376363575

12

377

443,1900802

610,0019194

0,726538829

1,376388928

13

610

717,0980078

986,9988138

0,726543941

1,376379244

14

987

1160,288088

1597,000733

0,726541988

1,376382943

15

1597

1877,386096

2583,999547

0,726542734

1,37638153

16

2584

3037,674184

4181,00028

0,726542449

1,37638207

17

4181

4915,06028

6764,999827

0,726542558

1,376381863

18

6765

7952,734464

10946,00011

0,726542517

1,376381942

19

10946

12867,79474

17710,99993

0,726542532

1,376381912

20

17711

20820,52921

28657,00004

0,726542526

1,376381924

21

28657

33688,32395

46367,99997

0,726542529

1,376381919

22

46368

54508,85316

75025,00002

0,726542528

1,376381921

23

75025

88197,17711

121393

0,726542528

1,37638192

24

121393

142706,0303

196418

0,726542528

1,376381921

25

196418

230903,2074

317811

0,726542528

1,37638192

26

317811

373609,2376

514229

0,726542528

1,37638192

27

514229

604512,445

832040

0,726542528

1,37638192

28

832040

978121,6826

1346269

0,726542528

1,37638192

29

1346269

1582634,128

2178309

0,726542528

1,37638192

30

2178309

2560755,81

3524578

0,726542528

1,37638192

31

3524578

4143389,938

5702887

0,726542528

1,37638192

32

5702887

6704145,748

9227465

0,726542528

1,37638192

33

9227465

10847535,69

14930352

0,726542528

1,37638192

34

14930352

17551681,43

24157817

0,726542528

1,37638192

35

24157817

28399217,12

39088169

0,726542528

1,37638192

36

39088169

45950898,56

63245986

0,726542528

1,37638192

37

63245986

74350115,68

102334155

0,726542528

1,37638192

38

102334155

120301014,2

165580141

0,726542528

1,37638192

39

165580141

194651129,9

267914296

0,726542528

1,37638192

40

267914296

314952142,9

 

 

 

41

433494437

509603272,1

 

 

 

42

701408733

 

 

 

 

43

1134903170

 

 

 

 

44

1836311903

 

 

 

 

 

 

Sviluppo con excel della sequenza di Fibonacci del raggio del cerchio iscritto al pentagono regolare

                                   Di lato “n” della “Fibonacci series

  Il rapporto apotema/ lato tende al numero irrazionale  1, 453085056

  Il rapporto lato/ apotema tende al numero irrazionale   0, 68819096

 

 

numerazione

Fibonacci series

raggio del cerchio iscritto

raggio del cerchio iscr.

rapporto D/C raggio

rapporto C/D raggio

1

1

pentagono reg.di lato  “ n”

pentagono reg.apotema “ n”

rapporto  apotema/lato

rapporto lato/apotema

1

2

1,701301617

2,472135955

1,453085056

0,68819096

2

3

2,551952425

3,708203933

1,453085056

0,68819096

3

5

4,253254042

6,180339888

1,453085056

0,68819096

4

8

6,805206467

9,88854382

1,453085056

0,68819096

5

13

11,05846051

16,06888371

1,453085056

0,68819096

6

21

17,86366698

25,95742753

1,453085056

0,68819096

7

34

28,92212748

42,02631124

1,453085056

0,68819096

8

55

46,78579446

67,98373876

1,453085056

0,68819096

9

89

75,70792194

110,01005

1,453085056

0,68819096

10

144

122,4937164

177,9937888

1,453085056

0,68819096

11

233

198,2016383

288,0038388

1,453085056

0,68819096

12

377

320,6953547

465,9976275

1,453085056

0,68819096

13

610

518,8969931

754,0014663

1,453085056

0,68819096

14

987

839,5923478

1219,999094

1,453085056

0,68819096

15

1597

1358,489341

1974,00056

1,453085056

0,68819096

16

2584

2198,081689

3193,999654

1,453085056

0,68819096

17

4181

3556,57103

5168,000214

1,453085056

0,68819096

18

6765

5754,652718

8361,999868

1,453085056

0,68819096

19

10946

9311,223748

13530,00008

1,453085056

0,68819096

20

17711

15065,87647

21891,99995

1,453085056

0,68819096

21

28657

24377,10021

35422,00003

1,453085056

0,68819096

22

46368

39442,97668

57313,99998

1,453085056

0,68819096

23

75025

63820,0769

92736,00001

1,453085056

0,68819096

24

121393

103263,0536

150050

1,453085056

0,68819096

25

196418

167083,1305

242786

1,453085056

0,68819096

26

317811

270346,1841

392836

1,453085056

0,68819096

27

514229

437429,3145

635622

1,453085056

0,68819096

28

832040

707775,4986

1028458

1,453085056

0,68819096

29

1346269

1145204,813

1664080

1,453085056

0,68819096

30

2178309

1852980,312

2692538

1,453085056

0,68819096

31

3524578

2998185,125

4356618

1,453085056

0,68819096

32

5702887

4851165,436

7049156

1,453085056

0,68819096

33

9227465

7849350,561

11405774

1,453085056

0,68819096

34

14930352

12700516

18454930

1,453085056

0,68819096

35

24157817

20549866,56

29860704

1,453085056

0,68819096

36

39088169

33250382,56

48315634

1,453085056

0,68819096

37

63245986

53800249,12

78176338

1,453085056

0,68819096

38

102334155

87050631,67

126491972

1,453085056

0,68819096

39

165580141

140850880,8

204668310

1,453085056

0,68819096

40

267914296

 

 

 

 

41

433494437

 

 

 

 

42

701408733

 

 

 

 

43

1134903170

 

 

 

 

44

1836311903

 

 

 

 

 

   

 

LA  SPIRALE   DI   FIBONACCI

 

 

In geometria  la costruzione di quadrati e rettangoli con la “Fibonacci Series” trova riscontro nello sviluppo simmetrico

 o proporzionale (…….divina proportione) di molti fenomeni naturali,fino alle forme a spirale ,come per le  conchiglie e le chiocciole……

 

Con la sequenza numerica di Fibonacci,iniziamo a costruire due quadrati adiacenti di lato 1,che formeranno un rettangolo di lato 2.

Il nuovo quadrato formerà un rettangolo 3 x 2,sul quale si  affiancherà in figura un quadrato di lato 5.

Sul lato maggiore della figura poggerà un quadrato di lato 8, e in sequenza si formeranno quadrati con i numeri di Fibonacci..13,21,34,…..

 

 

 

……la spirale di Fibonacci

 

 

Se disegnamo un quarto di cerchio in ogni quadrato di lato 1,2,3.5.8.13……ecc.si  avrà  graficamente una spirale,che ci ricorda

 lo sviluppo naturale delle spirali di conchiglie,chiocciole,ecc,

 

 

………………………..la spirale di una chiocciola………perfezione della Natura…….